Biot theory

시간에 따른 다공질 재료내부 간극수압의 변화는 시간에 따른 변화량(간극으로 들어오고 나가는 물의 양($\varsigma $)의 변화량에서 체적변화량($\epsilon$))을 뺀 크기만큼 비례한다. 비례의 정도는 $M$으로 표시되는 Biot Modulus이다.

 

$\frac{\partial P}{\partial t} = M \left ( \frac{\partial \varsigma }{\partial t} - \frac{\partial \epsilon }{\partial t}\right )$

 

 

Biot Modulus $M$은 아래식과 같이 매우 복잡한데,

 

$M=\frac{K_w}{n+(\alpha -n)(1-\alpha)\frac{K_w}{K}}$

 

여기서, $K_w$는 물의 체적탄성계수, $K$는 다공질 재료의 체적탄성계수이며, $n$은 간극률, $\alpha$는 Biot의 계수(Coefficient)이다.

 

Biot Coefficient는 다음과 같이 정의되며, 흙의 경우 흙입자의 강성이 매우 크다고 보아 ($K_s'=\infty $), $\alpha=1$로 간주된다.

 

$\alpha = \frac{\Delta V_v}{V} =1-\frac{K}{K_s'}$

 

$\alpha=1$이 되면, Biot Modulus는 다음과 같이 단순화 된다.

 

$M=\frac{K_w}{n}$

 

FLAC에서는 어떻게 구현되는지 간단한 예제를 살펴보자. 여기서 ini pp 100은 모든 grid point에 간극수압 100을 가하게 된다.

config gwflow
grid 1,1
model mohr
property density 1000 bulk 5e6 shear 4.5e5 cohesion 5 friction 40
fix x i=1,2
fix y =i=1,2
ini pp 100
set flow off
hist 100 pp i=1 j=1
hist 200 gpp i=1 j=1
hist 300 gpp i=2 j=1
hist 400 gpp i=2 j=2
hist 500 gpp i=1 j=2
step 10

 

따라서, 초기화 이후 간극수압의 분포는 grid 중심에서 100이며, 모든 grid point가 fix되어 변형은 발생하지 않는다.

 

이번에는 상단의 y방향 구속조건을 풀어주고 연직하중을 재하하여 변형을 시켜보자 (횡방향 구속하의 축하중)

free y j=2
apply yforce -500 j=2
water bulk 1e9
step 100

 

 

연직변형율 $\epsilon=4.409\times10^{-7}$ 이며, Biot Modulus $M=K_w/n=1\times10^9/0.5$이다. FLAC에서 GWFLOW를 선언하는 경우 porosity $n$은 dafault값 0.5가 지정된다.

 

그러므로, 추가되는 수압

 

$\Delta P = M\times\Delta\epsilon=\frac{1\times10^9}{0.5}\times 4.409\times10^{-7}=881.2$

 

기존 100 + 881.2 = 981.2이다. FLAC의 결과 982와 유사하다.

 

만약, porosity $n$을 1/2하면,